La armadura nudo por nudo, qué es el pandeo y por qué la tensión crítica se topa en σy.
Sin dar nada por sabido.
Los problemas 1, 2 y 3 eran de análisis: te daban la estructura y las cargas, y tenías que sacar una reacción o un desplazamiento. El 4 es distinto: es de diseño. Te dan la estructura y el perfil, y te preguntan cuánta carga aguanta.
El puente entre las dos mitades es la tabla: como todas las fuerzas salen en función de P (5,25P · 7,5P · 12,5P…), cada criterio de falla se convierte en una desigualdad del tipo «tantas veces P ≤ tanto», y P se despeja sola.
Y como cada barra da su propia desigualdad, al final tienes una lista de límites y te quedas con el más pequeño. Ése es el que rige. Los demás sobran.
Una armadura es una estructura de barras rectas unidas por articulaciones y cargada únicamente en los nudos. Esas dos condiciones son las que lo hacen todo fácil, y conviene ver por qué.
Si una barra está articulada en sus dos extremos y no tiene ninguna carga entre medio, entonces solo recibe fuerzas en esos dos puntos. Y un cuerpo en equilibrio bajo solo dos fuerzas exige que sean iguales, opuestas y colineales — si no, formarían un par y giraría. La única recta que une los dos extremos es el eje de la barra.
Conclusión: en una armadura, TODAS las barras trabajan solo a fuerza axial. Ni flexión ni cortante. Por eso el problema no lleva ni una sola integral, a diferencia de los tres anteriores.
Antes de intentar resolverla por estática hay que comprobar que se puede. La fórmula de armaduras compara incógnitas contra ecuaciones:
Porque en un nudo todas las fuerzas concurren en el mismo punto. Todas tienen brazo cero respecto a ese punto, así que ΣM = 0 se cumple sola y no aporta información. Quedan solo las dos de fuerzas.
Y de ahí la regla operativa: un nudo se puede resolver si tiene como máximo dos barras de fuerza desconocida.
Primero el equilibrio global, tratando toda la armadura como un solo cuerpo. Tomo momentos en A porque ahí concurren dos de las tres incógnitas (Ax y Ay) y tienen brazo cero:
Porque la carga está descentrada hacia la derecha: la más grande, 10P, cuelga de H, a 9 m de A pero a solo 3 m de E. La resultante de las tres cargas (17P) actúa a 120P/17P = 7,06 m de A, o sea a la derecha del centro de la luz.
Y hay una comprobación de sentido común: el apoyo más cercano a la resultante se lleva más carga. Si te sale al revés, revisa.
El método consiste en aislar cada nudo, dibujarle su cuerpo libre y plantear sus dos ecuaciones. La única disciplina es el orden: hay que empezar donde solo haya dos incógnitas e ir avanzando hacia adentro.
Ese 0,6 y ese 0,8 van a aparecer en todos los nudos con diagonal. Vale la pena escribirlos una vez arriba de la hoja y no volver a deducirlos.
¿Por dónde empiezo? Por A y por E: son los únicos nudos donde concurren solo dos barras y además ya conozco la reacción.
Fíjate en el orden dentro del nudo A: empiezo por ΣFy, no por ΣFx. ¿Por qué? Porque AB es horizontal y no aparece en la ecuación vertical, así que ΣFy tiene una sola incógnita y se despeja de un tirón. Después, con NAF ya conocida, ΣFx también queda con una sola. Elegir el orden de las dos ecuaciones te ahorra resolver un sistema.
La reacción en A empuja el nudo hacia arriba con 7P. Para equilibrarlo, algo tiene que jalarlo hacia abajo, y lo único disponible es la componente vertical de la diagonal AF. O sea que AF tiene que empujar el nudo hacia abajo → está comprimida. Y eso es lo que dice el −8,75P.
Tiene todo el sentido estructural: AF es la diagonal que baja la carga del cordón superior hasta el apoyo, así que va a compresión, como una pata.
NEH = 12,5P en compresión es, con diferencia, la mayor de las trece. Y sale del cálculo más corto de todos: 10P / 0,8 = 12,5P — literalmente la carga del nudo H dividida entre el seno de la diagonal.
Es lógico: HE tiene que bajar hasta el apoyo E toda la carga de 10P que cuelga en H, y como lo hace en diagonal, necesita más fuerza que la carga que baja. Cuanto más tumbada esté la diagonal, peor. Guárdate este número: es el que al final va a fijar P = 68 kN.
CH sale cero, pero no por ninguna regla visual: sale del cálculo. Mira la ecuación de ΣFy en H: la componente vertical de EH vale 0,8 × 12,5P = 10P, que es exactamente la carga aplicada en ese nudo. Se cancelan, y no queda nada para la otra diagonal.
Es una coincidencia numérica de esta combinación de cargas, no una propiedad geométrica. Si la carga en H fuera 8P en vez de 10P, CH no sería nula. Por eso hay que calcularla y no darla por sentada — y por eso conviene decirlo así si te lo preguntan.
Y ahora lo mejor del método: como la armadura es isostática y ya usé siete nudos, el nudo C me sobra. Eso no es un desperdicio — es la verificación. Si me equivoqué en un signo en cualquier punto del recorrido, este nudo no cierra:
Si te preguntan «¿cómo sabes que la tabla está bien?», ésta es la respuesta: el nudo C cierra sin haberlo usado. En una isostática siempre sobra un nudo, y ese nudo sobrante es un chequeo gratis de todo lo anterior.
Salieron tres: BF, DH y CH. Conviene tener claras las reglas porque ahorran muchísimo tiempo y son pregunta segura.
En los nudos B y D aplica la regla 2: AB y BC son colineales (las dos horizontales, en el cordón inferior) y BF es perpendicular, sin ninguna carga aplicada. La ecuación vertical queda con un solo término, que por fuerza vale cero.
Una barra nula no es una barra inútil. Es una barra descargada para esta hipótesis de carga. Aporta estabilidad geométrica y empieza a trabajar en cuanto la carga cambie — por ejemplo, si apareciera viento, o si la carga se aplicara solo en medio vano.
Y ojo con el dibujo: una barra nula se traza punteada y sin flecha, rotulada N = 0. Ponerle una flecha de fuerza a una barra de fuerza cero es un error de dibujo.
El enunciado la pide explícitamente, y hay que darla completa, con las 13 barras, incluidas las nulas, y con la columna de tracción/compresión. Esa columna no es decorativa: es la que decide qué criterio de falla aplica después.
| Miembro | L (m) | Fuerza | Tipo | Miembro | L (m) | Fuerza | Tipo |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| AB | 3 | 5,25 P | Tracción | BF | 4 | 0 | Nula |
| BC | 3 | 5,25 P | Tracción | CG | 4 | 3,00 P | Compresión |
| CD | 3 | 7,50 P | Tracción | DH | 4 | 0 | Nula |
| DE | 3 | 7,50 P | Tracción | AF | 5 | 8,75 P | Compresión |
| FG | 3 | 7,50 P | Compresión | FC | 5 | 3,75 P | Tracción |
| GH | 3 | 7,50 P | Compresión | CH | 5 | 0 | Nula |
| HE | 5 | 12,50 P | Compresión ← la mayor |
Con esos dos números ya se puede hacer todo el diseño. Todo lo demás de la tabla es para demostrar que los calculaste.
Antes de aplicar los criterios, conviene tener claro qué es el número que el enunciado te da.
Un FS de 1,75 contra cedencia significa: la tensión de trabajo no puede pasar de σy/1,75. O sea, te quedas con un 57 % de la capacidad y el 43 % restante es el margen. No es desconfianza en el cálculo: es margen contra todo lo que el cálculo no sabe — que el acero venga un poco flojo, que la carga real sea mayor que la de proyecto, que el perfil tenga una tolerancia de laminación, que la estructura se corroa.
Ésta es la pregunta conceptual del problema, y tiene una respuesta buena:
La cedencia es una falla dúctil. El acero fluye, se deforma visiblemente, redistribuye esfuerzos hacia las zonas menos cargadas y avisa antes de colapsar. Además σy es un dato muy confiable, medido en ensayo.
El pandeo es una inestabilidad. Es súbito, sin aviso, y catastrófico: la barra pasa de recta a arqueada de golpe. Y sobre todo, es hipersensible a las imperfecciones — una curvatura inicial de milímetros, una excentricidad en el nudo, las tensiones residuales que deja la laminación en caliente. La carga real de pandeo de una columna de taller es siempre menor que la teórica.
Predicción menos confiable + consecuencia peor = más margen. De ahí el 3 contra el 1,75.
Éste es el fácil. La cedencia le aplica a cualquier miembro que alcance σy, esté traccionado o comprimido — el enunciado dice «falla por cedencia», no «por tracción».
Y ahora se aplica a las dos barras extremas de la tabla:
Porque la cedencia es una propiedad del material: el acero fluye a 250 MPa lo estires o lo aplastes. Un miembro comprimido tiene dos maneras de fallar (ceder o pandear) y hay que revisarle las dos.
Aquí, además, la que manda dentro de este criterio es la comprimida, porque 12,5P > 7,5P y el Nadm es el mismo para todas (todos los miembros son el mismo perfil).
Toma una regla de plástico y compriímela por los extremos con las manos. No se aplasta: llega un momento en que se arquea de golpe hacia un lado. Eso es pandeo, y es una falla completamente distinta a las que has visto hasta ahora.
Cuando una pieza cede, es porque la tensión llegó al límite del material. Es un problema de resistencia: comparas σ contra σy.
Cuando una pieza pandea, el material ni se enteró — la tensión puede estar muy por debajo de σy. Lo que falló es la forma: la posición recta dejó de ser estable. Es un problema de estabilidad.
La imagen que lo fija: una bola en el fondo de un valle, si la empujas, vuelve — estable. La misma bola en la cima de una loma, si la empujas, se va — inestable. Una columna comprimida está en el valle mientras la carga sea baja, y hay una carga exacta a la que pasa a la cima. Esa es la carga crítica.
Euler calculó exactamente esa carga:
σy no está por ningún lado. Solo aparecen E (la rigidez), I (la forma de la sección) y L (el largo).
Consecuencia práctica que suelen preguntar: poner acero de alta resistencia en una columna esbelta no sirve absolutamente de nada. Todos los aceros estructurales tienen prácticamente el mismo E (200 GPa), así que pandean con la misma carga. Para mejorar una columna esbelta hay que darle más inercia o acortarla, no más resistencia.
El radio de giro r = √(I/A) mide qué tan lejos del eje está repartida el área. Dos perfiles con la misma área pueden tener r muy distintos: si el material está lejos del eje (un tubo), r es grande y cuesta más doblarlo.
Y la esbeltez λ = Le/r es el número que decide todo el problema. Fíjate en que σcr cae con el cuadrado de λ:
Le = K·L, donde K depende de cómo estén sujetos los extremos. Aquí K = 1, extremos articulados, que es la hipótesis propia de una armadura ideal: los nudos son pasadores y no transmiten momento.
Si los nudos fueran soldados y rígidos, K bajaría a 0,7–0,8 y la barra resistiría más. Así que K = 1 es la hipótesis conservadora, y por eso es la que se usa cuando el enunciado no dice nada.
Ésta es la pregunta clave del problema, y la que separa a quien entendió de quien copió una fórmula. Calculemos la esbeltez de la barra crítica:
Euler predice que la barra pandearía a 333,6 MPa… pero el acero cede a 250 MPa. La barra habría fluido mucho antes de llegar a esa tensión: nunca alcanza la carga de pandeo elástico.
El problema es que la fórmula de Euler usa E, la pendiente de la zona elástica. Solo vale mientras el material siga elástico, es decir mientras σcr ≤ σy. Fuera de ahí la fórmula sigue dando números, pero son física ficción.
Por eso el enunciado dice literalmente: «usar la tensión de cedencia como valor máximo de la tensión crítica». Te está diciendo que topes en 250.
| Barra | L (mm) | λ = L/ry | σcr de Euler | ¿Vale Euler? | σcr que se usa |
|---|---|---|---|---|---|
| FG, GH | 3000 | 46,15 | 926,6 MPa | no, ≫ σy | 250 |
| CG | 4000 | 61,54 | 521,2 MPa | no, ≫ σy | 250 |
| AF | 5000 | 76,92 | 333,6 MPa | no, > σy | 250 |
| HE | 5000 | 76,92 | 333,6 MPa | no, > σy | 250 |
Como las cuatro barras comprimidas se topan en el mismo 250 MPa, todas tienen exactamente la misma capacidad:
Y por lo tanto en este problema la longitud de la barra no cambia nada. Manda simplemente la que lleva más fuerza. Es contraintuitivo — uno espera que la más larga sea la peor — y por eso es una pregunta excelente para la defensa.
Porque una columna pandea siempre por su eje de menor inercia: el menor r da la mayor esbeltez, y la mayor esbeltez da la menor tensión crítica. Es el eje débil, el camino de menos resistencia.
Con ry = 65 mm la esbeltez de HE es 76,9; con rx = 111 mm sería solo 45,0. Usar rx sería quedarse del lado inseguro.
(Si la barra estuviera arriostrada lateralmente habría que comparar las dos esbelteces, cada una con su longitud libre, y quedarse con la mayor. Como el enunciado no menciona arriostramiento, se toma el caso más desfavorable.)
Ya están los dos criterios aplicados. Ahora se juntan todos los límites y se toma el más pequeño — porque P tiene que cumplirlos todos a la vez:
| Restricción | Barra | Cuenta | Límite de P |
|---|---|---|---|
| Cedencia sobre la máxima tracción | CD · DE | 7,5 P ≤ 1457,14 kN | P ≤ 194,29 kN |
| Cedencia sobre la máxima compresión | HE | 12,5 P ≤ 1457,14 kN | P ≤ 116,57 kN |
| Pandeo sobre la máxima compresión | HE | 12,5 P ≤ 850 kN | P ≤ 68,00 kN ← RIGE |
Fíjate en que el criterio de cedencia sobre la compresión (116,57) resultó inútil: el de pandeo (68,00) es mucho más estricto. Y eso no es casualidad de este problema — es general, con estos factores:
Como el enunciado manda topar σcr en σy, los dos criterios arrancan del mismo 250 MPa y solo se diferencian en el factor de seguridad. Y 3 > 1,75. Por eso, en un miembro comprimido de este problema, revisar la cedencia es redundante.
Ahora: eso es una conclusión, no un supuesto de partida. Si el FS de pandeo hubiera sido menor que el de cedencia, se invertiría. Por eso lo correcto es escribir las tres líneas y señalar cuál rige, y no saltarse ninguna «porque ya se sabe».
Todo cálculo de diseño se cierra comprobando que el resultado cumple lo que se pidió:
El criterio que rige queda justo en el límite (FS exactamente 3) y todos los demás quedan holgados. Eso siempre tiene que pasar: si ninguno queda al límite, es que no tomaste el mínimo; si dos quedan por debajo, te equivocaste.
Y en cargas reales: 4P = 272 kN en F, 3P = 204 kN en G, 10P = 680 kN en H. Total 17P = 1156 kN sobre una armadura de 12 m.
Cambiarías solo la barra HE por un perfil de mayor área — es la única que rige, y sustituir las trece sería un desperdicio (CH, BF y DH no llevan nada, y CG solo 3P).
Lo que no serviría de nada es arriostrar HE en el punto medio para bajarle la esbeltez: ya está topada en la cedencia, así que reducir λ no sube σcr ni un megapascal. Ésa es una consecuencia directa de la Parte 9 y es una pregunta muy buena para medir si entendiste.