Tarea 4 — Teorema de Castigliano aplicado a la viga IPE 200 del balcón

La misma viga de la Tarea 1, resuelta ahora por el método del último tema. 6 hojas.

HOJA 1
UNIVERSIDAD CATÓLICA ANDRÉS BELLO
Facultad de Ingeniería · Escuela de Ingeniería Civil
Aplicación del Teorema de Castigliano
a una Viga Hiperestática Real
Caso de estudio: viga IPE 200 de un balcón residencial
empotrada en el muro de carga y apuntalada por una columna auxiliar
En el marco de la asignatura Mecánica de Sólidos II — UCAB
Ejercicio de aplicación a la vida real — Entrega del Cuarto Parcial

Prof. Ing. Miguel Ángel Rodríguez Carrasquilla

Scarbay, Misael — C.I. 28.027.958


21 de julio de 2026
HOJA 2

1. Introducción y objetivo

En la Tarea #1 se estudió una viga de acero IPE 200 que sostiene la losa de un balcón residencial: está empotrada en el muro de carga del edificio en el punto A y, en su extremo libre, apuntalada por una columna metálica auxiliar en el punto B. En aquella oportunidad se determinaron las reacciones RA, MA y RB aplicando el método de superposición.

El objetivo de esta cuarta entrega es volver sobre exactamente el mismo elemento real y resolverlo por un camino distinto: el segundo teorema de Castigliano, que es el método estudiado en este último tema. La intención es doble: aplicar el método energético a un caso práctico y, sobre todo, verificar que dos métodos independientes conducen a los mismos valores. Si coinciden, el modelo y los cálculos quedan validados.

Por qué esta viga es un buen caso para Castigliano. Es hiperestática: tiene tres reacciones incógnitas y solo dos ecuaciones de equilibrio útiles. La estática por sí sola no la resuelve; hace falta una condición adicional de deformación. Castigliano provee esa condición de manera directa y sistemática.

2. Planteamiento del problema

2.1 Idealización del modelo (la misma de la Tarea #1)

2.2 Datos

DatoValorObservación
Longitud L3,00 mvolado del balcón
Carga distribuida w4 kN/mlosa + acabado + sobrecarga
Inercia I (IPE 200)1,94 × 10⁻⁵ m⁴tabla de perfiles
Módulo de elasticidad E200 GPaacero estructural
Rigidez a flexión EI3880 kN·m² (200×10⁶ kPa)(1,94×10⁻⁵ m⁴)
A B w = 4 kN/m L = 3,00 m IPE 200 · acero E = 200 GPa · I = 1,94 × 10⁻⁵ m⁴ · EI = 3880 kN·m² muro puntal
Figura 1 — Modelo analítico: viga empotrada en A, apoyada en B (voladizo apuntalado) con carga uniformemente distribuida.

2.3 Enunciado

Para la viga descrita (L = 3,00 m, w = 4 kN/m, EI = 3880 kN·m²) se pide, aplicando el segundo teorema de Castigliano:

HOJA 3

3. Grado de hiperestaticidad y elección de la redundante

Reacciones incógnitas: RA (vertical), MA (momento), RB (vertical) = 3 Ecuaciones de estática útiles (ΣFy = 0, ΣM = 0): = 2 G.H. = 3 − 2 = 1 → hiperestática de PRIMER grado Se elige como redundante la reacción del puntal: RB

Al liberar el puntal, la viga se convierte en un voladizo empotrado en A, que es isostático y de manejo muy sencillo. La reacción RB deja de ser un vínculo y pasa a ser una fuerza aplicada desconocida sobre esa estructura primaria.

A B w RB (redundante) estructura primaria: voladizo isostático
Figura 2 — Estructura primaria: se retira el puntal y su reacción RB se trata como una carga aplicada desconocida.

4. Resolución por el segundo teorema de Castigliano

4.1 Condición de compatibilidad

El segundo teorema de Castigliano establece que la derivada parcial de la energía de deformación respecto de una fuerza da el desplazamiento de su punto de aplicación, en su misma dirección. Ahora bien: el puntal en B es un apoyo rígido, de modo que el punto B no baja. Ésa es exactamente la ecuación que faltaba:

δB = ∂U/∂RB = 0 con U = ∫ M²/(2EI) dx → (1/EI) ∫0L M(x) · (∂M/∂RB) dx = 0
Se considera únicamente la energía de flexión. En vigas de este tipo (esbeltas, L/h = 3,00/0,20 = 15) la energía por cortante es del orden del 1 % y se desprecia, como es práctica corriente.

4.2 Momento flector en función de la redundante

Conviene tomar el origen en B y medir x hacia A: así el trozo aislado contiene solo RB y la carga distribuida, sin que aparezcan las reacciones del empotramiento. La expresión de M(x) es entonces válida en toda la luz, con una sola integral.

w M(x) V RB x B se conserva el trozo derecho: contiene solo RB y la carga w
Figura 3 — Cuerpo libre del trozo comprendido entre B y una sección genérica situada a una distancia x del puntal.
Momento de las fuerzas del trozo respecto de la sección de corte: RB · brazo x → + RB · x resultante de w (= w·x, aplicada en x/2) → − w·x · (x/2) M(x) = RB · x − w·x²/2 (0 ≤ x ≤ L) ∂M/∂RB = x

4.3 Cálculo de la redundante

∫0L ( RB·x − w·x²/2 ) · x dx = 0 ∫0L ( RB·x² − w·x³/2 ) dx = 0 RB·L³/3 − w·L⁴/8 = 0 RB·L³/3 = w·L⁴/8 → RB = 3·w·L/8
Nótese que EI se cancela por completo: la redundante no depende del material ni del perfil, solo de la geometría y de la carga. Esto es característico de las estructuras hiperestáticas de un solo material y sección constante.
HOJA 4

4.4 Las otras dos reacciones, por equilibrio

Conocida la redundante, la viga ya es estáticamente determinada y las reacciones del empotramiento salen de las dos ecuaciones de la estática:

ΣFy = 0 : RA + RB − w·L = 0 RA = w·L − 3wL/8 → RA = 5·w·L/8 ΣMA = 0 : MA + RB·L − (w·L)·(L/2) = 0 MA = w·L²/2 − (3wL/8)·L = wL²/2 − 3wL²/8 → MA = w·L²/8 (tracciona la fibra superior)

4.5 Flecha en el centro de la luz: carga ficticia Q

Castigliano da el desplazamiento del punto donde hay una fuerza aplicada. Como en el centro de la luz no hay ninguna, se coloca allí una carga ficticia Q, se deriva respecto de ella y al final se hace Q = 0. La carga Q parte la viga en dos tramos:

Tramo B–Q (0 ≤ x ≤ L/2): M₁ = RB·x − w·x²/2 ∂M₁/∂Q = 0 Tramo Q–A (L/2 ≤ x ≤ L): M₂ = RB·x − w·x²/2 − Q·(x − L/2) ∂M₂/∂Q = −(x − L/2) El primer tramo no aporta (su derivada es nula). Con Q = 0 y RB = 3wL/8: δC = (1/EI) ∫L/2L ( 3wL·x/8 − w·x²/2 ) · [ −(x − L/2) ] dx integrando: = (1/EI) [ 15wL⁴/128 − 35wL⁴/192 + 9wL⁴/128 ] → δC = w·L⁴ / (192·EI) (hacia abajo)
Detalle fino que conviene justificar. Al derivar respecto de Q se dejó RB fijo, pese a que en rigor la redundante depende de Q. Es legítimo: por la regla de la cadena dU/dQ = ∂U/∂Q + (∂U/∂RB)·(dRB/dQ), y el segundo término se anula porque ∂U/∂RB = 0 es precisamente la condición de compatibilidad, que se cumple para cualquier valor de Q (teorema de Menabrea).

La flecha máxima no ocurre exactamente en el centro, porque la viga no es simétrica. Integrando dos veces la ecuación de la elástica EI·y″ = M(x), con y(0) = 0 e y′(0) = 0 por el empotramiento, resulta:

EI·y(x) = − MA·x²/2 + RA·x³/6 − w·x⁴/24 Comprobación: y(L) = 0 ✔ (el puntal no permite descenso en B) y′(x) = 0 → 8x² − 15L·x + 6L² = 0 → x = L(15 − √33)/16 = 0,578 L → δmáx = 0,005416 · w·L⁴/EI en x = 0,578 L
HOJA 5

5. Sustitución numérica

RB = 3wL/8 = 3(4)(3)/8 = 36/8 = 4,50 kN RA = 5wL/8 = 5(4)(3)/8 = 60/8 = 7,50 kN MA = wL²/8 = (4)(3)²/8 = 36/8 = 4,50 kN·m Comprobación del equilibrio: RA + RB = 7,50 + 4,50 = 12,00 kN = w·L = (4)(3) ✔ δC = wL⁴/(192·EI) = (4)(3)⁴/[192(3880)] = 324/744 960 = 0,000435 m = 0,435 mm δmáx = 0,005416(4)(3)⁴/3880 = 0,000452 m = 0,452 mm en x = 1,735 m

6. Diagramas de corte y momento

Con origen en A: V(x) = RA − w·x = 7,5 − 4x M(x) = −MA + RA·x − w·x²/2 = −4,5 + 7,5x − 2x² V = 0 en x = 7,5/4 = 1,875 m → Mmáx(+) = 9wL²/128 = 2,53 kN·m M = 0 en x = L/4 = 0,75 m (punto de inflexión)
+7,50 kN −4,50 kN A B V −4,50 kN·m +2,53 kN·m en x = 1,875 m punto de inflexión x = 0,75 m = L/4 M (+) tracciona la fibra inferior · (−) tracciona la fibra superior
Figura 4 — Diagramas de fuerza cortante y momento flector. La línea de trazos marca que el momento máximo positivo ocurre donde el corte se anula.
A B δmáx = 0,452 mm x = 1,735 m = 0,578 L
Figura 5 — Elástica de la viga (escala vertical muy amplificada). El giro es nulo en A y el descenso es nulo en B.
HOJA 6

7. Comparación con la Tarea #1

En la Tarea #1 la misma viga se resolvió por superposición: se liberaba el puntal y se imponía que la flecha del voladizo bajo w se cancelara con la que produce RB:

w·L⁴/(8·EI) = RB·L³/(3·EI) → RB = 3·w·L/8
MagnitudTarea 1
(superposición)		 Tarea 4
(Castigliano)		Diferencia
Reacción del puntal RB = 3wL/8 4,50 kN4,50 kN0
Reacción del empotramiento RA = 5wL/8 7,50 kN7,50 kN0
Momento de empotramiento MA = wL²/8 4,50 kN·m4,50 kN·m0
Flecha en el centro δC = wL⁴/192EI 0,435 mm0,435 mm0
Los dos métodos coinciden exactamente:
RA = 7,50 kN  ·  MA = 4,50 kN·m  ·  RB = 4,50 kN

8. Verificaciones de ingeniería

8.1 Resistencia

La sección crítica es el empotramiento, con |M| = 4,50 kN·m. Para el IPE 200, c = h/2 = 0,10 m: σ = M·c/I = (4,50)(0,10)/(1,94×10⁻⁵) = 23 196 kPa = 23,2 MPa Acero estructural, fy = 250 MPa → F.S. = 250/23,2 = 10,8 ✔ holgado

8.2 Servicio (flecha admisible)

δadm = L/360 = 3000/360 = 8,33 mm δmáx = 0,452 mm = L/6633 ≪ 8,33 mm ✔ CUMPLE con amplio margen

8.3 ¿Qué aporta realmente el puntal?

Vale la pena cuantificar el papel de la columna auxiliar comparando con la misma viga sin el apoyo en B, es decir, como voladizo puro:

 Sin puntal
(voladizo)		 Con puntal
(caso real)		Mejora
Momento en el empotramiento wL²/2 = 18,0 kN·mwL²/8 = 4,50 kN·m 4 veces menor
Tensión máxima 92,8 MPa23,2 MPa4 veces menor
Flecha máxima wL⁴/8EI = 10,44 mm0,452 mm 23 veces menor
¿Cumple L/360 = 8,33 mm? NO (10,44 > 8,33)SÍ—
Resultado con significado práctico: sin la columna auxiliar el balcón no cumpliría el límite de flecha, aun cuando resistiría de sobra. Es un caso típico donde el diseño lo gobierna el servicio y no la resistencia. Además, el cálculo entrega el dato que necesita quien diseñe esa columna: debe soportar 4,50 kN.

9. Conclusiones

  1. Se resolvió por segunda vez la misma viga real del balcón, ahora con el segundo teorema de Castigliano, y las tres reacciones coinciden exactamente con las obtenidas por superposición en la Tarea #1: RA = 7,50 kN, MA = 4,50 kN·m y RB = 4,50 kN.
  2. La condición de compatibilidad se planteó sobre la reacción del puntal: como B es un apoyo rígido, δB = ∂U/∂RB = 0. Tomando el origen en B, el momento flector queda con una sola expresión válida en toda la luz y la redundante sale de una única integral, sin que intervengan las reacciones del empotramiento.
  3. La ventaja práctica del método energético quedó a la vista en el apartado 4.5: la carga ficticia Q permite obtener el desplazamiento de cualquier punto sin necesidad de plantear e integrar la ecuación de la elástica. Colocándola en otra sección se obtendría la flecha de esa sección.
  4. Las verificaciones muestran una viga muy holgada en resistencia (F.S. = 10,8) y holgada en servicio (δ = L/6633 frente al límite L/360), gracias a la presencia del puntal: sin él la flecha se multiplicaría por 23 y el elemento no cumpliría.
  5. El punto de inflexión en x = L/4 = 0,75 m indica dónde el momento cambia de signo: entre A y esa sección tracciona la fibra superior, y del otro lado la inferior. Es un dato útil en obra para definir el arriostramiento del ala comprimida y el detalle de la conexión.